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2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测二十二三角函数的图象与性质含解析50


1

课时跟踪检测(二十二) 三角函数的图象与性质

[A 级 基础题——基稳才能楼高]

1.(2018·河北枣强中学二模)下列四个函数中,以 π 为最小正周期,且在区间

( ) π

,π

2

上为减函数的是(  )

A.y=sin 2x       

B.y=2|cos x|

x

C.y=cos 2

D.y=tan(-x)

( ) ( ) π 3π





,π

解析:选 D A 选项,函数在 2 4 上单调递减,在 4

上单调递增,故排除

( ) π

,π

A;B 选项,函数在 2

上单调递增,故排除 B;C 选项,函数的周期是 4π,故排除 C.

故选 D.

( )π
2x- 2.关于函数 y=tan 3 ,下列说法正确的是(  )

A.是奇函数

( )π
0, B.在区间 3 上单调递减
( ) π ,0 C. 6 为其图象的一个对称中心

D.最小正周期为 π

( ) ( ) π

π

2x-

2x-

解析:选 C 函数 y=tan

3 是非奇非偶函数,A 错;函数 y=tan

3 在区

( )π

π

π kπ

0,

间 3 上单调递增,B 错;最小正周期为 2 ,D 错;由 2x- 3 = 2 ,k∈Z,得

( ) kπ π

π

π

,0

x= 4 + 6 ,k∈Z.当 k=0 时,x= 6 ,所以它的图象关于 6 对称.

[ ]π
0, 3.(2018·广西五市联考)若函数 f(x)=2sin ωx(0<ω<1)在区间 3 上的最大值

为 1,则 ω=(  )

1

1

A.4

B.3

1

3

C.2

D. 2

[ ] π

π

π

0,

解析:选 C 因为 0<ω<1,0≤x≤ 3 ,所以 0≤ωx< 3 ,所以 f(x)在区间 3 上单

( )π
调递增,则 f(x)max=f 3 =2sin

ωπ 3 =1,即 sin

ωπ 1

π

3 =2.又 0≤ωx< 3 ,所以

2

1

ωπ π

1

3 = 6 ,解得 ω=2,选 C.

4.(2019·冀州四校联考)定义在 R 上的函数 f(x)既是偶函数又是周期函数,若 f(x)

[ ] ( ) π



0,

的最小正周期是 π,且当 x∈ 2 时,f(x)=sin x,则 f 3 的值为(  )

1

1

A.-2

B.2

7 C.16

3 D. 2

( ) ( ) ( ) 5π 5π

π

-2π -

解析:选 D ∵f(x)的最小正周期是 π,∴f 3 =f 3

=f 3 ,∵函数

( ) ( ) ( ) 5π

ππ

π3



f(x)是偶函数,∴f 3 =f 3 =f 3 =sin 3 = 2 .故选 D.

( ) π

π

-x

5.函数 f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0)对任意 x 都有 fError! 6 +xError!=f 6 ,则

( )π
f 6 的值为(  )

A.2 或 0

B.-2 或 2

C.0

D.-2 或 0

( ) ( ) π

π

+x

-x

解析:选 B 因为函数 f(x)=2sin(ωx+φ)对任意 x 都有 f 6 =f 6 ,所以

π

该函数图象关于直线 x= 6 对称,因为在对称轴处对应的函数值为最大值或最小值,所以

选 B.

[B 级 保分题——准做快做达标]

1.y=|cos x|的一个单调递增区间是(  )

[ ] π π
-, A. 2 2       

[ ]3π

π,

C.

2

B.[0,π]
[ ] 3π ,2π D. 2

解析:选 D 将 y=cos x 的图象位于 x 轴下方的部分关于 x 轴对称向上翻折,x 轴上

方(或 x 轴上)的图象不变,即得 y=|cos x|的图象(如图).故选 D.

( )π

π

2x+

2.(2019·常德检测)将函数 f(x)=sin

3 的图象向右平移 6 个单位长度,得到

2

1

函数 g(x)的图象,则下列说法不正确的是(  )

A.g(x)的最小正周期为 π

( )π 3
B.g 6 = 2 π
C.x= 6 是 g(x)图象的一条对称轴

D.g(x)为奇函数

[ ( ) ] π π

2 x- +

解析:选 C 由题意得 g(x)=sin

6 3 =sin

2x,所以周期为

( )π

π3

π

π,g 6 =sin 3 = 2 ,直线 x= 6 不是 g(x)图象的一条对称轴,g(x)为奇函数,故选 C.

( ) ( ) π

π

ωx+

,0

3.(2018·晋城一模)已知函数 f(x)=2sin

3 的图象的一个对称中心为 3 ,

其中 ω 为常数,且 ω∈(1,3).若对任意的实数 x,总有 f(x1)≤f(x)≤f(x2),则

|x1-x2|的最小值是(  ) A.1

π B. 2

C.2

D.π

( ) ( ) π

π

π

ωx+

,0

解析:选 B ∵函数 f(x)=2sin

3 的图象的一个对称中心为 3 ,∴ 3 ω+

π

3 =kπ,k∈Z,∴ω=3k-1,k∈Z,由 ω∈(1,3),得 ω=2.由题意得|x1-x2|的最小 Tππ

值为函数的半个周期,即2=ω= 2 .故选 B.

π

4.(2018·广东七校联考)已知函数 y=sin(2x+φ)在 x= 6 处取得最大值,则函数

y=cos(2x+φ)的图象(  )

( ) π ,0 A.关于点 6 对称

( ) π ,0 B.关于点 3 对称

π

π

C.关于直线 x= 6 对称

D.关于直线 x= 3 对称

π

π

π

解析:选 A 由题意可得 3 +φ= 2 +2kπ,k∈Z,即 φ= 6 +2kπ,k∈Z,所以

( ) ( ) π

π

π

2x+ +2kπ

2x+

y=cos(2x+φ)=cos 6

=cos 6 ,k∈Z.当 x= 6 时,

( ) ( ) π π

π

π

2× +

,0

cos

6 6 =cos 2 =0,所以函数 y=cos (2x+φ)的图象关于点 6 对称,不关

( ) π

π

ππ

5

3

2× +

于直线 x= 6 对称,故 A 正确,C 错误;当 x= 3 时,cos

3 6 =cos 6π=- 2 ,

2

1

( ) π

π

,0

所以函数 y=cos(2x+φ)的图象不关于点 3 对称,B 错误,也不关于直线 x= 3 对称,

D 错误.故选 A.

( )π 1
2x+ 5.(2019·衡水联考)函数 f(x)=sin 3 -3在区间(0,π)内的所有零点之和为(  )

π A. 6

π B. 3

7π C. 6

4π D. 3

( )π

1

2x+

解析:选 C 函数零点即 y=sin

3 与 y=3图象交点的横坐标,在区间(0,π)

( )π

1

2x+

内,y=sin

3 与 y=3的图象有两个交点,由

π

π

π kπ



2x+ 3 =kπ+ 2 ,得 x=12+ 2 ,k∈Z,取 k=1,得 x= 12 ,可知



7π 7π

两个交点关于直线 x= 12 对称,故两个零点的和为 12 ×2= 6 .故选 C.

2 6.(2018·闽侯第六中学期末)若锐角 φ 满足 sin φ-cos φ= 2 ,则函数 f(x)

=sin2(x+φ)的单调递增区间为(  )

[ ] 5π

π

2kπ- ,2kπ+

A.

12

12 (k∈Z)

[ ] 5π

π

kπ- ,kπ+

B.

12

12 (k∈Z)

[ ] π



2kπ+ ,2kπ+

C.

12

12 (k∈Z)

[ ] π



kπ+ ,kπ+

D.

12

12 (k∈Z)

( ) 2

π2

ππ

φ-

解析:选 B 因为 sin φ-cos φ= 2 ,所以 2sin

4 = 2 ?φ- 4 = 6 ?φ=



( )5π

1-cos 2x+

1-cos?2x+2φ?

6

12 .因为 f(x)=sin2(x+φ)=

2



2

,所以由

[ ] 5π



π

kπ- ,kπ+

2x+ 6 ∈[2kπ,2kπ+π](k∈Z)得 f(x)的单调递增区间为

12

12 (k∈Z),

故选 B.

7.(2018·天津期末)设函数 f(x)= 3sin ωx+cos ωx(ω>0),其图象的一条对称

( ) π π , 轴在区间 6 3 内,且 f(x)的最小正周期大于 π,则 ω 的取值范围为(  )

2

1

( ) 1 ,1 A. 2

B.(0,2)

C.(1,2)

D.[1,2)

解析:选 C 由题意 f(x)= 3sin

ωx+cos

( )π

ωx+

ωx=2sin

6 (ω>0).令

ππ

π kπ

ωx+ 6 = 2 +kπ,k∈Z,得 x=3ω+ ω ,k∈Z.∵函数图象的一条对称轴在区间

( ) π π

π π kπ π



6 3 内,∴ 6 <3ω+ ω < 3 ,k∈Z,∴3k+1<ω<6k+2,k∈Z.又∵f(x)的最小正周期

2π 大于 π,∴ ω >π,解得 0<ω<2.∴ω 的取值范围为(1,2).故选 C.

( ) 1
1+log x

π x+

8.函数 f(x)=

2 +tan 4 的定义域是____________.

解析:依题意得Error!

π ∴0<x≤2,且 x≠kπ+ 4 (k∈Z), ∴函数 f(x)的定义域是Error!.

答案:Error!

( ) ( ) ( ) π

ππ

ωx+

9.(2019·四川双流中学模拟)已知函数 f(x)=sin

4 (ω>0),f 6 =f 3 ,

( ) π

,π

且 f(x)在 2

上单调递减,则 ω=________.

( ) ( ) π π

π

解析:由 f 6 =f 3 ,可知函数 f(x)的图象关于直线 x= 4 对称,

( ) π π π

π

,π

∴ 4 ω+ 4 = 2 +kπ,k∈Z,∴ω=1+4k,k∈Z,又 f(x)在 2

上单调递减,

T

ππ



∴2≥π- 2 = 2 ,T≥π,∴ ω ≥π,∴ω≤2,又 ω=1+4k,k∈Z,∴当 k=0 时,

ω=1.

答案:1

( )π

ωx-

10.已知函数 f(x)=3sin

6 (ω>0)和 g(x)=3·cos(2x+φ)的图象的对称中

[ ]π
0, 心完全相同,若 x∈ 2 ,则 f(x)的取值范围是________.

解析:由两三角函数图象的对称中心完全相同,可知两函数的周期相同,故 ω=2,

( ) [ ] π

π

π

π 5π

2x-

0,

所以 f(x)=3sin 6 ,当 x∈ 2 时,- 6 ≤2x- 6 ≤ 6 ,所以

2

1

( ) [ ] 1

π

3

2x-

- ,3

-2≤sin 6 ≤1,故 f(x)∈ 2 .

[ ] 3
- ,3 答案: 2

11.(2018·郴州二模)已知函数 f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,给出下列四个命题:

π ①函数 f(x)的图象关于直线 x= 4 对称;
[ ] π π
-, ②函数 f(x)在区间 4 4 上单调递增;

③函数 f(x)的最小正周期为 π;

④函数 f(x)的值域为[-2,2].

其中是真命题的序号是________.(将你认为是真命题的序号都填上)

解析:对于函数 f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x,

( ) ( ) π





由于 f 4 =-2,f 4 =0,

( ) ( ) π 3π
- 所以 f 4 ≠f 4 ,

π

故 f(x)的图象不关于直线 x= 4 对称,故排除①.

[ ] [ ] π π

ππ

-,

-,

在区间 4 4 上,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin 2x,2x∈ 2 2 单调

递增,故②正确.

( ) ( ) π



函数 f 3 = 3,f 3 =0,

( ) ( ) π 4π
所以 f 3 ≠f 3 ,故函数 f(x)的最小正周期不是 π,故③错误.

当 cos x≥0 时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=2sin xcos x+sin 2x=2sin 2x,

故它的最大值为 2,最小值为-2;

当 cos x<0 时,f(x)=2|cos x|sin x+sin 2x=-2sin xcos x+sin 2x=0,

综合可得,函数 f(x)的最大值为 2,最小值为-2,故④正确.

答案:②④

( )π
x- 12.(2018·天津实验中学第二次阶段考试)已知函数 f(x)=2cos2 6 +2sin

( ) ( ) π

π

x-

x+

4 sin 4 .

(1)求函数 f(x)的最小正周期和图象的对称中心;

2

1

[ ]π
0, (2)求 f(x)在区间 2 上的最大值和最小值.

( ) ( ) π

π

π

x-

x+

解:(1)∵f(x)=2cos2 6 +2sinError!x- 4 Error!·sin 4

( ) ( ) ( ) π

π

ππ

2x-

x-

x+ -

=cos 3 +1+2sin 4 sin 2 4

( ) ( ) ( ) π

π

π

2x-

x-

x-

=cos 3 +2sin 4 cos 4 +1

( ) 1

3

π

2x-

=2cos 2x+ 2 sin 2x+sin

2 +1

3

1

= 2 sin 2x-2cos 2x+1

( )π
2x- =sin 6 +1,

( ) 2π

π kπ

+ ,1

∴f(x)的最小正周期为 2 =π,图象的对称中心为 12 2 ,k∈Z.

[ ] [ ] π

π π 5π

0,

-,

(2)x∈ 2 时,2x- 6 ∈ 6 6 ,

ππ

π

当 2x- 6 = 2 ,即 x= 3 时,函数有最大值 2;

ππ

1

当 2x- 6 =- 6 ,即 x=0 时,函数有最小值2.

x 13.(2019·武汉调研)已知函数 f(x)=aError!2cos22+sin xError!+b.

(1)若 a=-1,求函数 f(x)的单调递增区间;

(2)当 x∈[0,π]时,函数 f(x)的值域是[5,8],求 a,b 的值.

解:已知函数 f(x)=a(1+cos x+sin x)+b

( )π
x+ = 2asin 4 +a+b.

( )π
x+ (1)当 a=-1 时,f(x)=- 2sin 4 +b-1,

ππ



由 2kπ+ 2 ≤x+ 4 ≤2kπ+ 2 (k∈Z),

π



得 2kπ+ 4 ≤x≤2kπ+ 4 (k∈Z),

π



∴f(x)的单调递增区间为 Error!2kπ+ 4 ,2kπ+ 4 Error!(k∈Z).

π π 5π

(2)∵0≤x≤π,∴ 4 ≤x+ 4 ≤ 4 ,

2

1

( ) 2

π

x+

∴- 2 ≤sin 4 ≤1,依题意知 a≠0.

①当 a>0 时,得Error!∴a=3 2-3,b=5.

②当 a<0 时,得Error!∴a=3-3 2,b=8.

综上所述,a=3 2-3,b=5 或 a=3-3 2,b=8.

2



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