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巧用向量的数量积解题例说_论文

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《 数学之友》   20 年第 1   08 7期 巧 用 向量 的数 量 积 解 题 例 说  解 题 探 索  许  安  ( 苏 省 泗 阳 中学 ,27 0  江 2 30 ) 设两 个* 面 向 量 m :( , ) , =( ,: ,     , l   Y ) 它  则 m ? =a, y" Z n x+b J   r   C = 、   ? 们 的夹角 为 oo  ≤盯) 则 它们 的数 量 为 m ?l   (≤ , ,= Jl , l?I  oO=   , ,I?cs  l2+Yy. l l2 因为 cs ≤ 1 所 以  oO , . . 了  = ?   丽 ?o , cO s  (   +  = +2 )0+  c c   似+  ) ( )+ (  6+  o 0 , s  ( +Y + ) 口 b c )       (  +  +   .   CS =1 = O  , 0或 叮,. T. 向量 m, 共线 , ? , l   三 一上 一三   a — b 。 C’ — 。   2 Y 2  +  ? + l ≤√ Y   Y = = + 2对于空间向量 m y .   . . ‘ ’ ( ,1z)疗=( ,2 2 , 有类 * 论 : 。  1Y,1 ,  2Y , ) 也   m   l   ,I? oO=   YY +zz, 满 足 x   m l?I  cs  12+ l2 I 且 l 2 12 +l + ≤ YY     2 +,+ ? ; ) +;特别地, )     +,   ,   ;   2 证 明不等式  当 = 时m = 运 向 的 量 ,巧     詈 , ‘ 0 用 量 数 积可 妙 . 地解 决许 多非 向量 问题 , 现举 例说 明.   例 已 。为数 明 (    3 知, 正 , : +) 6 证去 ≤  1 证 明等 式    、0 46 /  - .   例 已 ( 0+ 1 知 0 C ̄    ∈’ n 篙  詈 S 4     0 证 :+=   明   詈 证 明: 设  CS ̄ O4 ,   . 证明: 设  :   一 。 ’   O ( B: 何 ,  , 丽 : +     ) ,   的夹 角为 (  ≤叮)  o≤ T, sn   i at c  ̄ J ,   则  .   ?  疗 ( =  , 厕 + sn i  ) ,   =   ? . .  而 oO s  m, 的夹角 为 0 0   ( ≤ ≤盯) 则  , m ., : C S l O  ( I )oO / I . a-b cs  ̄ a-b - < -  ( + )     ≤厮 4  2   +   +   √ +0 ̄  ̄n —o cO   一2? —— —2o  C / sf c— s S  i +— — s 2 f l l = ? T o0= oO     e cs c s =1 ? 例 4 已知 口 6 c为 正 数 , 明 : ,, 证   c   f z+b - C I  - ≥ —   ‘   CSO/ 04   / .   n  =  s    if n l ? . 舞=    , ‘ ∈ , ,O s,   0 ) O l  詈 .S n .Lo ?  t C 卢 0 ). af . 卢詈 ∈ , ' <+<   =. 号. l . 0  ’+   证 : =   瓜     明设m f  a b √  0 聆=(   ,   , 口+b ,   )  CS CS OO O ̄一s c i = , CS O+ L i  ̄ n O 即 O (L  )= , nsf l 0  .   m, 的夹角 为 0 o  ≤百 , , l (≤ ) 则  m ? l=a+b+C ,   例 2 已知 a b C为非 零 实 数 , ) z 实 数 , ,,  ,, 为 ,   若 ( + + 2 (   b C)=(N+ + ).     Z) a +  + 2 a       求  证 : : :- 羔   兰 _ .  √ + + . + cO 而     。 6 S 黑   可C  + O .   .  a  o   c   ’   ± ±!一     2 — —   2   b  2 c  2 c s} 。  06    证 明 : n =( y z , =( , ,)  设 l  , ,) , a b C , l m, 的夹 角 为 oo  ≤1 , , l (≤ r  ) ≤  √ a +b +c / 2          ,   ? 5 ? 7   《 数学之友》   乜   +   20 08年第 l 7期  b   c  2 +— + a —b> n+6+c   。  一   — 一   <  <   .   3 求 最值    侈  设 m, , y∈R且 m   = , +     0  5 几 ,  + 0  Y = 例 8 设 抛物线 y = ( 0 的焦 点 为 F, 2   P> ) 经  过点 F的直线 交抛物 线 于 A, B两点 , C在 抛物 线  点 的准线上 , B /x , 且 C/ 轴 证明直线 A C经过原点 0 .   b 又 a> , 0 试求  +n , 0b> , y的最 大值.   — —   — — 证明: (p , t ,(p , £ (l2 设A 2t 2 1 B 2t 2 2 t, 为参  ; p) ; p) t 南  _   解: O 设 A=( , ) O   n , B=( Y ,  ,)  与  的夹 角为 ( ≤ 0  ≤耵)  , 数,芋 )(号 p, )(,,一 ,z F oc 2) c  葡=p一


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