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2019-2020年高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第4讲幂函数与二次函数学案


2019-2020 年高考数学一轮复习第 2 章函数导数及其应用第 4 讲幂函 数与二次函数学案
板块一 知识梳理·自主学习 [必备知识]
考点 幂函数的图象和性质 1.五种幂函数图象的比较
2.幂函数的性质比较

[必会结论] 1.一元二次不等式恒成立的条件 (1)ax2+bx+c>0(a≠0)恒成立的充要条件是???a>0,
??Δ <0.
(2)ax2+bx+c<0(a≠0)恒成立的充要条件是???a<0, ??Δ <0.
2.二次函数表达式的三种形式 (1)一般式:y=ax2+bx+c(a≠0). (2)顶点式:y=a(x+h)2+k(其中 a≠0,顶点坐标为(-h,k)). (3)两根式:y=a(x-x1)(x-x2)(其中 a≠0,x1,x2 是二次函数的图象与 x 轴的两个交 点的横坐标).
[考点自测]

1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的打“×”)

(1)幂函数的图象都经过点(1,1)和(0,0).( )

(2)二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R),不可能是偶函数.( )

(3)二次函数 y=ax2+bx+c,x∈[a,b]的最值一定是4ac4-a b2.(

)

(4)当 α <0 时,幂函数 y=xα 是定义域上的减函数.( ) 答案 (1)× (2)× (3)× (4)×

2.[2018·济南诊断]已知幂函数 f(x)=kxα 的图象过点???12, 22???,则 k+α =(

)

A.12

B.1

C.32

D.2

答案 C

解析 由幂函数的定义知 k=1.又 f???12???= 22,所以???12???α = 22,解得 α =12,从而 k+α

=32.

3.[课本改编]设 α ∈???-1,1,12,3???,则使函数 y=xα 的定义域为 R 且为奇函数的所 有 α 值为( )

A.1,3

B.-1,1

C.-1,3

D.-1,1,3

答案 A

解析 α =-1,1,3 时幂函数为奇函数,当 α =-1 时定义域不是 R,所以 α =1,3.故

选 A.

4.[课本改编]函数 f(x)=2x2-mx+3,当 x∈[-2,+∞)时,f(x)是增函数,当 x∈(-

∞,-2]时,f(x)是减函数,则 f(1)的值为( )

A.-3

B.13

C.7

D.5

答案 B

解析 ∵m4=-2,∴m=-8,∴f(1)=13.选 B.

5.[课本改编]函数 f(x)=-x2+4x+1(x∈[-1,1])的最大值等于________.

答案 4

解析 因为对称轴为 x=2?[-1,1],所以函数在[-1,1]上单调递增,因此当 x=1 时,

函数取最大值 4.

6.[课本改编]已知函数 f(x)=ax2+x+5 的图象在 x 轴上方,则 a 的取值范围是

________.

答案 ???210,+∞???

解析 由题意知???a>0, ??Δ <0,

即?????a1>-0,20a<0,

解得 a>210.

板块二 典例探究·考向突破

考向

幂函数的图象与性质

例 1 (1)函数 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数,且在 x∈(0,+∞)上为增函数,则实

数 m 的值是( )

A.-1

B.2

C.3

D.-1 或 2

答案 B

解析 f(x)=(m2-m-1)xm 是幂函数? m2-m-1=1? m=-1 或 m=2.又 x∈(0,+∞)

上是增函数,所以 m=2.

4

2

1

3

5

3

(2)[2016·全国卷Ⅲ]已知 a=2 ,b=4 ,c=25 ,则( )

A.b<a<c

B.a<b<c

C.b<c<a

D.c<a<b

答案 A

42

12

2

33

33

3

解析 因为 a=2 =4 ,c=25 =5 ,函数 y=x 在(0,+∞)上单调递增,

22

22

33

33

所以 4 <5 ,即 a<c,又因为函数 y=4x 在 R 上单调递增,所以 4 <4 ,即 b<a,所

以 b<a<c.故选 A.

触类旁通

幂函数的图象特征

(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域,即 x

=1,y=1,y=x 分区域.根据 α <0,0<α <1,α =1,α >1 的取值确定位置后,其余象限

部分由奇偶性决定.

(2)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行

比较.

【变式训练 1】 (1)已知幂函数 f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于 y 轴对称,

且在(0,+∞)上是减函数,则 n 的值为( )

A.-3

B.1

C.2

D.1 或 2

答案 B

解析 由于 f(x)为幂函数,所以 n2+2n-2=1,解得 n=1 或 n=-3,经检验只有 n

=1 符合题意.故选 B.

(2)[2018·昆明模拟]设 a=20.3,b=30.2,c=70.1,则 a,b,c 的大小关系为( )

A.a<c<b

B.c<a<b

C.a<b<c

D.c<b<a

答案 B

解析 由已知得 a=80.1,b=90.1,c=70.1,构造幂函数 y=x0.1,x∈(0,+∞),根据幂

函数的单调性,知 c<a<b.

考向

求二次函数的解析式

例 2 已知二次函数 f(x)满足 f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是 8,试确

定此二次函数的解析式.

解 解法一:(利用一般式)

设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0).

4a+2b+c=-1,
??a-b+c=-1,
由题意得
?4ac-b2 ?? 4a =8,

?? a=-4, 解得?b=4,
??c=7.

∴所求二次函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 解法二:(利用顶点式) 设 f(x)=a(x-m)2+n(a≠0). ∵f(2)=f(-1), ∴抛物线的对称轴为 x=2+?2-1?=12. ∴m=12.又根据题意函数有最大值 8,∴n=8. ∴y=f(x)=a???x-12???2+8. ∵f(2)=-1,∴a???2-12???2+8=-1,解得 a=-4, ∴f(x)=-4???x-12???2+8=-4x2+4x+7. 解法三:(利用两根式) 由已知 f(x)+1=0 两根为 x1=2,x2=-1, 故可设 f(x)+1=a(x-2)(x+1)(a≠0), 即 f(x)=ax2-ax-2a-1. 又函数有最大值 f(x)max=8,即4a?-2a4-a 1?-a2=8. 解得 a=-4 或 a=0(舍). ∴所求函数的解析式为 f(x)=-4x2+4x+7. 触类旁通
确定二次函数解析式的方法 根据已知条件确定二次函数解析式,一般用待定系数法,选择规律如下:
【变式训练 2】 已知二次函数 f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),且 f(0)=0,f(1)=1, 求 f(x)的解析式.

解 解法一:(一般式)设 f(x)=ax2+bx+c(a≠0),

则?????ca-= +2ba0b=, +c1=1,

?? a=-1, ? ?b=2,
??c=0,

∴f(x)=-x2+2x.

解法二:(两根式)∵对称轴方程为 x=1, ∴f(2)=f(0)=0,f(x)=0 的两根分别为 0,2. ∴可设其解析式为 f(x)=ax(x-2). 又∵f(1)=1,可得 a=-1, ∴f(x)=-x(x-2)=-x2+2x. 解法三:(顶点式)由已知,可得顶点为(1,1), ∴可设其解析式为 f(x)=a(x-1)2+1. 又由 f(0)=0,可得 a=-1, ∴f(x)=-(x-1)2+1=-x2+2x.

考向

二次函数的图象和性质

命题角度 1 二次函数的单调性 例 3 已知函数 f(x)=x2+2ax+3,x∈[-4,6]. (1)求实数 a 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-4,6]上是单调函数; (2)当 a=1 时,求 f(|x|)的单调区间. 解 (1)由于函数 f(x)的图象开口向上,对称轴是 x=-a,所以要使 f(x)在[-4,6]上 是单调函数,应有-a≤-4 或-a≥6,即 a≤-6 或 a≥4. (2)当 a=1 时,f(x)=x2+2x+3, ∴f(|x|)=x2+2|x|+3,此时定义域为 x∈[-4,6], 且 f(x)=?????xx22+ -22xx+ +33, ,xx∈ ∈[?0-,46,],0]. ∴f(|x|)的单调递增区间是(0,6], 单调递减区间是[-4,0].

命题角度 2 二次函数的最值 例 4 [2016·浙江高考]已知函数 f(x)=x2+bx,则“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 答案 A
解析 因为 f(x)=x2+bx=???x+b2???2-b42,其最小值为 f???-b2???=-b42.因为 f(f(x))=

[f(x)]2+b·f(x)=???f?x?+b2???2-b42.因为 f(x)min=-b42,若 f[f(x)]与 f(x)的最小值相等, 当且仅当 f(x)=-b2≥-b42时成立,解得 b<0 或 b>2,所以“b<0”是“f(f(x))的最小值与 f(x)的最小值相等”的充分不必要条件.故选 A.
命题角度 3 二次函数中恒成立问题 例 5 [2018·石家庄模拟]设函数 f(x)=ax2-2x+2,对于满足 1<x<4 的一切 x 值 都有 f(x)>0,则实数 a 的取值范围为________.
答案 ???12,+∞??? 解析 由 f(x)>0,即 ax2-2x+2>0,x∈(1,4),得 a>-x22+2x在(1,4)上恒成立. 令 g(x)=-x22+2x=-2???1x-12???2+12, 1x∈???14,1???,所以 g(x)max=g(2)=12, 所以要使 f(x)>0 在(1,4)上恒成立,只要 a>12即可.
触类旁通 二次函数的最值及恒成立问题
(1)解决二次函数最值问题的思路:抓住“三点一轴”数形结合,三点是指区间两个端 点和中点,一轴指的是对称轴,结合配方法,根据函数的单调性及分类讨论的思想即可完成.
(2)解决二次函数恒成立问题有两个解题思路:一是分离参数,思路的依据是:a≥f(x) 恒成立?a≥f(x)max,a≤f(x)恒成立?a≤f(x)min;二是不分离参数,对参数进行分类讨论.
核心规律 1.幂函数 y=xα (α ∈R)的图象的特征 当 α >0 时,图象过原点和点(1,1),在第一象限图象上升; 当 α <0 时,图象过点(1,1),但不过原点,在第一象限图象下降. 2.在研究一元二次方程根的分布问题时,常借助二次函数图象数形结合求解,一般从: ①开口方向;②对称轴位置;③判别式;④端点函数值的符号四个方面分析. 3.在研究一元二次不等式的有关问题时,一般借助二次函数图象及性质求解.
满分策略 1.幂函数的图象一定会出现在第一象限,一定不会出现在第四象限.如果幂函数与坐标 轴有交点,则交点一定是原点. 2.对于函数 y=ax2+bx+c,若它是二次函数,则必须满足 a≠0.当题目条件中未说明 a≠0 时,就要分 a=0 和 a≠0 两种情况讨论. 3.对于与二次函数有关的不等式恒成立问题或存在性问题,应注意进行等价转化.

板块三 启智培优·破译高考 数学思想系列 2——分类讨论破解二次函数最值问题 [2018·广州模拟]已知函数 f(x)=-x2+2ax+1-a 在 0≤x≤1 时有最大值 2,求实数 a 的值. 解题视点 函数的对称轴是 x=a 位置不定,并且在不同位置产生的结果也不相同,所 以要对对称轴的位置进行分类讨论. 解 当对称轴 x=a<0 时,如图 1 所示,当 x=0 时,y 有最大值 ymax=f(0)=1-a,所 以 1-a=2,即 a=-1,且满足 a<0,∴a=-1. 当 0≤a≤1 时,如图 2 所示,当 x=a 时,y 有最大值 ymax=f(a)=-a2+2a2+1-a=a2 -a+1.

∴a2-a+1=2,解得 a=1±2 5.

∵0≤a≤1,∴a=1±2

5 (舍去).

当 a>1 时,如图 3 所示. 当 x=1 时,y 有最大值. ymax=f(1)=2a-a=2. ∴a=2,且满足 a>1,∴a=2.

综上可知,a 的值为-1 或 2. 答题启示 二次函数在区间上的最值问题,可分成三类:①对称轴固定,区间固定;② 对称轴变动,区间固定;③对称轴固定,区间变动.此类问题一般利用二次函数的图象及其 单调性来考虑,对于后面两类问题,通常应分对称轴在区间内、左、右三种情况讨论.
跟踪训练 设函数 f(x)=x2-2x+2,x∈[t,t+1],t∈R,求函数 f(x)的最小值. 解 f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,x∈[t,t+1],t∈R,函数图象的对称轴为 x=1. 当 t+1<1,即 t<0 时,函数图象如图(1)所示,函数 f(x)在区间[t,t+1]上为减函数, 所以最小值为 f(t+1)=t2+1;

当 t≤1≤t+1,即 0≤t≤1 时,函数图象如图(2)所示,在对称轴 x=1 处取得最小值, 最小值为 f(1)=1;
当 t>1 时,函数图象如图(3)所示,函数 f(x)在区间[t,t+1]上为增函数,所以最小 值为 f(t)=t2-2t+2.

?? t2+1,t<0, 综上可知,f(x)min=?1,0≤t≤1,
??t2-2t+2,t>1.

板块四 模拟演练·提能增分

[A 级 基础达标]

1.[2018·秦皇岛模拟]若幂函数的图象过点???2,14???,则它的单调递增区间是(

)

A.(0,+∞)

B.[0,+∞)

C.(-∞,+∞)

D.(-∞,0)

答案 D

解析 设 y=xa,则14=2a,∴a=-2,∴y=x-2 其单调递增区间为(-∞,0).故选 D.

2.[2018·武汉模拟]如果函数 f(x)=x2+bx+c 对任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(-

x),那么( )

A.f(0)<f(2)<f(-2)

B.f(0)<f(-2)<f(2)

C.f(2)<f(0)<f(-2)

D.f(-2)<f(0)<f(2)

答案 A

解析 由 f(1+x)=f(-x)知函数 f(x)图象的对称轴为 x=12,而抛物线的开口向上,

且???0-12???=12,???2-12???=32,???-2-21???=52,根据到对称轴的距离远的函数值较大得 f(- 2)>f(2)>f(0).故选 A.
3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0 对一切 x∈R 恒成立,则 a 的取值范围是( )

A.(-∞,2]

B.[-2,2]

C.(-2,2]

D.(-∞,-2)

答案 C

解析 当 a-2=0 即 a=2 时,不等式为-4<0,恒成立.当 a-2≠0 时,???a-2<0, ??Δ <0,

解得-2<a<2,所以 a 的取值范围是-2<a≤2.故选 C.

4.已知幂函数 f(x)=xα ,当 x>1 时,恒有 f(x)<x,则 α 的取值范围是( )

A.(0,1)

B.(-∞,1)

C.(0,+∞)

D.(-∞,0)

答案 B 解析 当 x>1 时,恒有 f(x)<x,即当 x>1 时,函数 f(x)=xα 的图象在 y=x 的图象的 下方,作出幂函数 f(x)=xα 在第一象限的图象,由图象可知 α <1 时满足题意.故选 B. 5.已知函数 f(x)=-x2+4x,x∈[m,5]的值域是[-5,4],则实数 m 的取值范围是( )

A.(-∞,-1)

B.(-1,2]

C.[-1,2]

D.[2,5)

答案 C 解析 二次函数 f(x)=-x2+4x 的图象是开口向下的抛物线,最大值为 4,且在 x=2 时取得,而当 x=5 或-1 时,f(x)=-5,结合图象可知 m 的取值范围是[-1,2]. 6.[2018·吉林松原月考]设函数 f(x)=x2+x+a(a>0),已知 f(m)<0,则( )

A.f(m+1)≥0

B.f(m+1)≤0

C.f(m+1)>0

D.f(m+1)<0

答案 C

解析 ∵f(x)的对称轴为 x=-12,f(0)=a>0,∴f(x)的大致图象如图所示.

由 f(m)<0,f(-1)=f(0)=a>0,得-1<m<0,

∴m+1>0,又∵x>-12时,f(x)单调递增,∴f(m+1)>f(0)>0.

7.[2017·浙江高考]若函数 f(x)=x2+ax+b 在区间[0,1]上的最大值是 M,最小值是 m,则 M-m( )

A.与 a 有关,且与 b 有关

B.与 a 有关,但与 b 无关

C.与 a 无关,且与 b 无关

D.与 a 无关,但与 b 有关

答案 B 解析 解法一:设 x1,x2 分别是函数 f(x)在[0,1]上的最小值点与最大值点,则 m=x21+ ax1+b,M=x22+ax2+b.∴M-m=x22-x21+a(x2-x1),显然此值与 a 有关,与 b 无关.故选 B.

解法二:由题意可知,函数 f(x)的二次项系数为固定值,则二次函数图象的形状一

定.随着 b 的变动,相当于图象上下移动,若 b 增大 k 个单位,则最大值与最小值分别变为 M+k,m+k,而(M+k)-(m+k)=M-m,故与 b 无关.随着 a 的变动,相当于图象左右移动, 则 M-m 的值在变化,故与 a 有关.故选 B.
8.已知函数 f(x)=x2+2ax+2 在[-5,5]上是单调函数,则实数 a 的取值范围是

________.

答案 (-∞,-5]∪[5,+∞) 解析 f(x)=(x+a)2+2-a2,图象的对称轴为 x=-a,由题意可知-a≥5 或-a≤-5, 解得 a≤-5 或 a≥5.

9.[2018·合肥模拟]若函数 f(x)= 2x2+2ax-a-1的定义域为 R,则 a 的取值范围为

________.

答案 [-1,0]

解析

函数

f(x)的定义域为

R,所以

2

x2+2ax-a-1≥0



x∈R

恒成立,即

2

≥2 , x2+2ax-a

0

x2+2ax-a≥0 恒成立,因此有 Δ =(2a)2+4a≤0,解得-1≤a≤0.

10.[2018·南昌模拟]如果函数 f(x)=x2-ax-a 在区间[0,2]上的最大值为 1,那么实

数 a=________.

答案 1 解析 因为函数 f(x)=x2-ax-a 的图象为开口向上的抛物线,所以函数的最大值在区

间的端点取得.因为 f(0)=-a,f(2)=4-3a,所以???-a>4-3a, 或???-a≤4-3a, 解

??-a=1

??4-3a=1,

得 a=1.

[B 级 知能提升] 1.[2018·浙江模拟]已知 a,b,c∈R,函数 f(x)=ax2+bx+c.若 f(0)=f(4)>f(1),

则( ) A.a>0,4a+b=0

B.a<0,4a+b=0

C.a>0,2a+b=0

D.a<0,2a+b=0

答案 A

解析 由 f(0)=f(4),得 f(x)=ax2+bx+c 的对称轴为 x=-2ba=2,所以 4a+b=0, 又 f(0)>f(1),所以 f(x)先减后增,所以 a>0.选 A.
2.如图是二次函数 y=ax2+bx+c 图象的一部分,图象过点 A(-3,0),对称轴为 x=- 1.给出下面四个结论:

①b2>4ac;②2a-b=1;③a-b+c=0;④5a<b.

其中正确的是( )

A.②④

B.①④

C.②③

D.①③

答案 B

解析 因为图象与 x 轴交于两点,所以 b2-4ac>0,即 b2>4ac,①正确.

对称轴为 x=-1,即-2ba=-1,2a-b=0,②错误.

结合图象,当 x=-1 时,y>0,即 a-b+c>0,③错误.

由对称轴为 x=-1 知,b=2a.又函数图象开口向下,所以 a<0,所以 5a<2a,即 5a<b,

④正确.

1

?? 3.[2018·北京西城模拟]已知函数 f(x)=

2 x ,0≤x≤c,

?x2+x,-2≤x<0,

其中 c>0.那么 f(x)的零点是________;若 f(x)的值域是???-14,2???,则 c 的取值范围是
________. 答案 -1 和 0 (0,4] 1 2 解析 当 0≤x≤c 时,由 x =0 得 x=0.当-2≤x<0 时,由 x2+x=0,得 x=-1, 1 2
所以函数零点为-1 和 0.当 0≤x≤c 时,f(x)=x ,所以 0≤f(x)≤ c;当-2≤x<0 时, f(x)=x2+x=???x+12???2-14,所以此时-14≤f(x)≤2.若 f(x)的值域是???-14,2???,则有 c≤2, 即 0<c≤4,即 c 的取值范围是(0,4].
4.[2018·江苏模拟]已知 f(x)=-4x2+4ax-4a-a2 在[0,1]内的最大值为-5,求 a

的值.

解 f(x)=-4???x-a2???2-4a,对称轴为 x=a2,

a ①当2≥1,即

a≥2

时,f(x)在[0,1]上递增,

∴f(x)max=f(1)=-4-a2, 令-4-a2=-5,得 a=±1(舍去).

②当

a 0<2<1,即

0<a<2

时,f(x)max=f???a2???=-4a,

令-4a=-5,得 a=54.

③当a2≤0,即 a≤0 时,f(x)在[0,1]上递减,

∴f(x)max=f(0)=-4a-a2,令-4a-a2=-5,

得 a=-5 或 a=1(舍去).综上所述,a=54或-5.

5.已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x.现已画出函数

f(x)在 y 轴左侧的图象,如图所示,请根据图象:

(1)写出函数 f(x)(x∈R)的增区间; (2)写出函数 f(x)(x∈R)的解析式; (3)若函数 g(x)=f(x)-2ax+2(x∈[1,2]),求函数 g(x)的最小值. 解 (1)f(x)在区间(-1,0),(1,+∞)上单调递增. (2)设 x>0,则-x<0,函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且当 x≤0 时,f(x)=x2+2x, 所以 f(x)=f(-x)=(-x)2+2×(-x)=x2-2x(x>0), 所以 f(x)=?????xx22- +22xx??xx>≤0?0,?. (3)g(x)=x2-2x-2ax+2,对称轴方程为 x=a+1, 当 a+1≤1,即 a≤0 时,g(1)=1-2a 为最小值; 当 1<a+1≤2,即 0<a≤1 时,g(a+1)=-a2-2a+1 为最小值; 当 a+1>2,即 a>1 时,g(2)=2-4a 为最小值.

?? 1-2a,a≤0, 综上可得 g(x)min=?-a2-2a+1,0<a≤1,
??2-4a,a>1.



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